यदि रेखाएँ $\frac{x + 1}{2} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z + 1}{3}$ और $\frac{x + 2}{2} = \frac{y - k}{3} = \frac{z}{4}$ समतलीय हैं,तो $k$ का मान ज्ञात कीजिए।

रेखाओं $\bar{r} = (\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}) + \lambda(2\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k})$ और $\bar{r} = (\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}) + \mu(\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k})$ के बीच का कोण ज्ञात कीजिए। ($^{\circ}$ में)

$xy$-समतल में रेखा $l_{1}$ के $x$ और $y$ अंतःखंड क्रमशः $\frac{1}{8}$ और $\frac{1}{4 \sqrt{2}}$ हैं,और $zx$-समतल में रेखा $l_{2}$ के $x$ और $z$ अंतःखंड क्रमशः $-\frac{1}{8}$ और $-\frac{1}{6 \sqrt{3}}$ हैं। यदि रेखा $l_{1}$ और $l_{2}$ के बीच की न्यूनतम दूरी $d$ है,तो $d^{-2}$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए कि रेखा $\frac{x}{1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-2}{3}$ में बिंदु $(1,0,7)$ का प्रतिबिंब $(\alpha, \beta, \gamma)$ है। तो निम्नलिखित में से कौन सा बिंदु $(\alpha, \beta, \gamma)$ से गुजरने वाली और $y$-अक्ष तथा $z$-अक्ष के साथ क्रमशः $\frac{2 \pi}{3}$ और $\frac{3 \pi}{4}$ का कोण बनाने वाली तथा $x$-अक्ष के साथ न्यून कोण बनाने वाली रेखा पर स्थित है?

विषमतलीय रेखाओं $\vec{r}=(3 \hat{i}+4 \hat{j}-2 \hat{k})+\lambda(-\hat{i}+2 \hat{j}+\hat{k})$ और $\vec{r}=(\hat{i}-7 \hat{j}-2 \hat{k})+\mu(\hat{i}+3 \hat{j}+2 \hat{k})$ के बीच की न्यूनतम दूरी है

मान लीजिए $A(2,3,-1), B(4,1,0), C(-1,-1,11)$ एक त्रिभुज $ABC$ के शीर्ष हैं। मान लीजिए $D$ वह बिंदु है जहाँ $\angle BAC$ का समद्विभाजक भुजा $BC$ से मिलता है। तो $AD$ के दिक अनुपात क्या हैं?